3.588 \(\int \frac{(c+d \sin (e+f x))^{5/2}}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=249 \[ -\frac{\sqrt{d} \left (15 c^2-10 c d+7 d^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \sqrt{d} \cos (e+f x)}{\sqrt{a \sin (e+f x)+a} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{4 \sqrt{a} f}-\frac{d \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{2 f \sqrt{a \sin (e+f x)+a}}-\frac{d (7 c-d) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{4 f \sqrt{a \sin (e+f x)+a}}-\frac{\sqrt{2} (c-d)^{5/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \sqrt{c-d} \cos (e+f x)}{\sqrt{2} \sqrt{a \sin (e+f x)+a} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{\sqrt{a} f} \]

[Out]

-(Sqrt[d]*(15*c^2 - 10*c*d + 7*d^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d
*Sin[e + f*x]])])/(4*Sqrt[a]*f) - (Sqrt[2]*(c - d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*S
qrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f) - ((7*c - d)*d*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e +
f*x]])/(4*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (d*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f
*x]])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.928763, antiderivative size = 249, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 7, integrand size = 29, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.241, Rules used = {2778, 2983, 2982, 2782, 208, 2775, 205} \[ -\frac{\sqrt{d} \left (15 c^2-10 c d+7 d^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \sqrt{d} \cos (e+f x)}{\sqrt{a \sin (e+f x)+a} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{4 \sqrt{a} f}-\frac{d \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{2 f \sqrt{a \sin (e+f x)+a}}-\frac{d (7 c-d) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{4 f \sqrt{a \sin (e+f x)+a}}-\frac{\sqrt{2} (c-d)^{5/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \sqrt{c-d} \cos (e+f x)}{\sqrt{2} \sqrt{a \sin (e+f x)+a} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{\sqrt{a} f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]],x]

[Out]

-(Sqrt[d]*(15*c^2 - 10*c*d + 7*d^2)*ArcTan[(Sqrt[a]*Sqrt[d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d
*Sin[e + f*x]])])/(4*Sqrt[a]*f) - (Sqrt[2]*(c - d)^(5/2)*ArcTanh[(Sqrt[a]*Sqrt[c - d]*Cos[e + f*x])/(Sqrt[2]*S
qrt[a + a*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])])/(Sqrt[a]*f) - ((7*c - d)*d*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e +
f*x]])/(4*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]]) - (d*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*Sqrt[a + a*Sin[e + f
*x]])

Rule 2778

Int[((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)/Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp
[(-2*d*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - 1))/(f*(2*n - 1)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), x] - Dist[1/(b*(2*n
- 1)), Int[((c + d*Sin[e + f*x])^(n - 2)*Simp[a*c*d - b*(2*d^2*(n - 1) + c^2*(2*n - 1)) + d*(a*d - b*c*(4*n -
3))*Sin[e + f*x], x])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&
EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[n, 1] && IntegerQ[2*n]

Rule 2983

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_
.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> -Simp[(B*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(f*(
m + n + 1)), x] + Dist[1/(b*(m + n + 1)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - 1)*Simp[A*b*c*(
m + n + 1) + B*(a*c*m + b*d*n) + (A*b*d*(m + n + 1) + B*(a*d*m + b*c*n))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a,
b, c, d, e, f, A, B, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[n, 0] && (I
ntegerQ[n] || EqQ[m + 1/2, 0])

Rule 2982

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin
[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Dist[(A*b - a*B)/b, Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*
x]]), x], x] + Dist[B/b, Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e
, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 2782

Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> D
ist[(-2*a)/f, Subst[Int[1/(2*b^2 - (a*c - b*d)*x^2), x], x, (b*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c
+ d*Sin[e + f*x]])], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 -
d^2, 0]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rule 2775

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[
(-2*b)/f, Subst[Int[1/(b + d*x^2), x], x, (b*Cos[e + f*x])/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])
], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(c+d \sin (e+f x))^{5/2}}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)}} \, dx &=-\frac{d \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{2 f \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}-\frac{\int \frac{\sqrt{c+d \sin (e+f x)} \left (-a \left (4 c^2-c d+3 d^2\right )-a (7 c-d) d \sin (e+f x)\right )}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)}} \, dx}{4 a}\\ &=-\frac{(7 c-d) d \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{4 f \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}-\frac{d \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{2 f \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}-\frac{\int \frac{-\frac{1}{2} a^2 \left (8 c^3-9 c^2 d+14 c d^2-d^3\right )-\frac{1}{2} a^2 d \left (15 c^2-10 c d+7 d^2\right ) \sin (e+f x)}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{4 a^2}\\ &=-\frac{(7 c-d) d \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{4 f \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}-\frac{d \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{2 f \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}+(c-d)^3 \int \frac{1}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx+\frac{\left (d \left (15 c^2-10 c d+7 d^2\right )\right ) \int \frac{\sqrt{a+a \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{8 a}\\ &=-\frac{(7 c-d) d \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{4 f \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}-\frac{d \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{2 f \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}-\frac{\left (2 a (c-d)^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{2 a^2-(a c-a d) x^2} \, dx,x,\frac{a \cos (e+f x)}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{f}-\frac{\left (d \left (15 c^2-10 c d+7 d^2\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+d x^2} \, dx,x,\frac{a \cos (e+f x)}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{4 f}\\ &=-\frac{\sqrt{d} \left (15 c^2-10 c d+7 d^2\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \sqrt{d} \cos (e+f x)}{\sqrt{a+a \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{4 \sqrt{a} f}-\frac{\sqrt{2} (c-d)^{5/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \sqrt{c-d} \cos (e+f x)}{\sqrt{2} \sqrt{a+a \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )}{\sqrt{a} f}-\frac{(7 c-d) d \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{4 f \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}-\frac{d \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{2 f \sqrt{a+a \sin (e+f x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 17.3567, size = 1893, normalized size = 7.6 \[ \text{result too large to display} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)/Sqrt[a + a*Sin[e + f*x]],x]

[Out]

((Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]*((d*(-9*c + 2*d)*Cos[(e + f*x)/2])/4 - (d^2*Co
s[(3*(e + f*x))/2])/4 - (d*(-9*c + 2*d)*Sin[(e + f*x)/2])/4 - (d^2*Sin[(3*(e + f*x))/2])/4))/(f*Sqrt[a*(1 + Si
n[e + f*x])]) + ((Sqrt[2]*(c - d)^(5/2)*Log[1 + Tan[(e + f*x)/2]] - Sqrt[2]*(c - d)^(5/2)*Log[c - d + 2*Sqrt[c
- d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]] + (-c + d)*Tan[(e + f*x)/2]] - (I/8)*Sqrt[d]*(15*
c^2 - 10*c*d + 7*d^2)*Log[(2*(c - I*(d + (1 + I)*Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)]*Sqrt[c + d*Sin[
e + f*x]]) + ((-I)*c + d)*Tan[(e + f*x)/2]))/(d^(3/2)*(15*c^2 - 10*c*d + 7*d^2)*(I + Tan[(e + f*x)/2]))] + (I/
8)*Sqrt[d]*(15*c^2 - 10*c*d + 7*d^2)*Log[(2*(c + I*d + (1 + I)*Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)]*S
qrt[c + d*Sin[e + f*x]] + (I*c + d)*Tan[(e + f*x)/2]))/(d^(3/2)*(15*c^2 - 10*c*d + 7*d^2)*(-I + Tan[(e + f*x)/
2]))])*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*(c^3/((Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*
x]]) - (9*c^2*d)/(8*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (7*c*d^2)/(4*(Cos[(e + f
*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - d^3/(8*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*Sqrt[c + d
*Sin[e + f*x]]) + (15*c^2*d*Sin[e + f*x])/(8*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) -
(5*c*d^2*Sin[e + f*x])/(4*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + (7*d^3*Sin[e + f*
x])/(8*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])))/(f*Sqrt[a*(1 + Sin[e + f*x])]*(((c -
d)^(5/2)*Sec[(e + f*x)/2]^2)/(Sqrt[2]*(1 + Tan[(e + f*x)/2])) - (Sqrt[2]*(c - d)^(5/2)*(((-c + d)*Sec[(e + f*x
)/2]^2)/2 + (Sqrt[c - d]*d*Cos[e + f*x]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)])/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]] + Sqrt[c - d]*
((1 + Cos[e + f*x])^(-1))^(3/2)*Sin[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]))/(c - d + 2*Sqrt[c - d]*Sqrt[(1 + Cos[e
+ f*x])^(-1)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]] + (-c + d)*Tan[(e + f*x)/2]) - ((I/16)*d^2*(15*c^2 - 10*c*d + 7*d^2)^2
*(I + Tan[(e + f*x)/2])*((2*((((-I)*c + d)*Sec[(e + f*x)/2]^2)/2 - I*(((1 + I)*d^(3/2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[(1 +
Cos[e + f*x])^(-1)])/(Sqrt[2]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + ((1 + I)*Sqrt[d]*((1 + Cos[e + f*x])^(-1))^(3/2)*Sin
[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[2])))/(d^(3/2)*(15*c^2 - 10*c*d + 7*d^2)*(I + Tan[(e + f*x)/2])) - (S
ec[(e + f*x)/2]^2*(c - I*(d + (1 + I)*Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])
+ ((-I)*c + d)*Tan[(e + f*x)/2]))/(d^(3/2)*(15*c^2 - 10*c*d + 7*d^2)*(I + Tan[(e + f*x)/2])^2)))/(c - I*(d + (
1 + I)*Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + ((-I)*c + d)*Tan[(e + f*x)/2]
) + ((I/16)*d^2*(15*c^2 - 10*c*d + 7*d^2)^2*(-I + Tan[(e + f*x)/2])*((2*(((I*c + d)*Sec[(e + f*x)/2]^2)/2 + ((
1 + I)*d^(3/2)*Cos[e + f*x]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)])/(Sqrt[2]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) + ((1 + I)*Sqrt[
d]*((1 + Cos[e + f*x])^(-1))^(3/2)*Sin[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[2]))/(d^(3/2)*(15*c^2 - 10*c*d
+ 7*d^2)*(-I + Tan[(e + f*x)/2])) - (Sec[(e + f*x)/2]^2*(c + I*d + (1 + I)*Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f
*x])^(-1)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]] + (I*c + d)*Tan[(e + f*x)/2]))/(d^(3/2)*(15*c^2 - 10*c*d + 7*d^2)*(-I + Ta
n[(e + f*x)/2])^2)))/(c + I*d + (1 + I)*Sqrt[2]*Sqrt[d]*Sqrt[(1 + Cos[e + f*x])^(-1)]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]
+ (I*c + d)*Tan[(e + f*x)/2])))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 180., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{ \left ( c+d\sin \left ( fx+e \right ) \right ) ^{{\frac{5}{2}}}{\frac{1}{\sqrt{a+a\sin \left ( fx+e \right ) }}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((c+d*sin(f*x+e))^(5/2)/(a+a*sin(f*x+e))^(1/2),x)

[Out]

int((c+d*sin(f*x+e))^(5/2)/(a+a*sin(f*x+e))^(1/2),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (d \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{a \sin \left (f x + e\right ) + a}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*sin(f*x+e))^(5/2)/(a+a*sin(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((d*sin(f*x + e) + c)^(5/2)/sqrt(a*sin(f*x + e) + a), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 6.91909, size = 7116, normalized size = 28.58 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*sin(f*x+e))^(5/2)/(a+a*sin(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/32*(16*sqrt(2)*(a*c^2 - 2*a*c*d + a*d^2 + (a*c^2 - 2*a*c*d + a*d^2)*cos(f*x + e) + (a*c^2 - 2*a*c*d + a*d^2
)*sin(f*x + e))*sqrt((c - d)/a)*log((2*sqrt(2)*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)*sqrt((c - d)/
a)*(cos(f*x + e) - sin(f*x + e) + 1) - (c - 3*d)*cos(f*x + e)^2 - (3*c - d)*cos(f*x + e) + ((c - 3*d)*cos(f*x
+ e) - 2*c - 2*d)*sin(f*x + e) - 2*c - 2*d)/(cos(f*x + e)^2 - (cos(f*x + e) + 2)*sin(f*x + e) - cos(f*x + e) -
2)) + (15*a*c^2 - 10*a*c*d + 7*a*d^2 + (15*a*c^2 - 10*a*c*d + 7*a*d^2)*cos(f*x + e) + (15*a*c^2 - 10*a*c*d +
7*a*d^2)*sin(f*x + e))*sqrt(-d/a)*log((128*d^4*cos(f*x + e)^5 + 128*(2*c*d^3 - d^4)*cos(f*x + e)^4 + c^4 + 4*c
^3*d + 6*c^2*d^2 + 4*c*d^3 + d^4 - 32*(5*c^2*d^2 - 14*c*d^3 + 13*d^4)*cos(f*x + e)^3 - 32*(c^3*d - 2*c^2*d^2 +
9*c*d^3 - 4*d^4)*cos(f*x + e)^2 - 8*(16*d^3*cos(f*x + e)^4 + 24*(c*d^2 - d^3)*cos(f*x + e)^3 - c^3 + 17*c^2*d
- 59*c*d^2 + 51*d^3 - 2*(5*c^2*d - 26*c*d^2 + 33*d^3)*cos(f*x + e)^2 - (c^3 - 7*c^2*d + 31*c*d^2 - 25*d^3)*co
s(f*x + e) + (16*d^3*cos(f*x + e)^3 + c^3 - 17*c^2*d + 59*c*d^2 - 51*d^3 - 8*(3*c*d^2 - 5*d^3)*cos(f*x + e)^2
- 2*(5*c^2*d - 14*c*d^2 + 13*d^3)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c
)*sqrt(-d/a) + (c^4 - 28*c^3*d + 230*c^2*d^2 - 476*c*d^3 + 289*d^4)*cos(f*x + e) + (128*d^4*cos(f*x + e)^4 + c
^4 + 4*c^3*d + 6*c^2*d^2 + 4*c*d^3 + d^4 - 256*(c*d^3 - d^4)*cos(f*x + e)^3 - 32*(5*c^2*d^2 - 6*c*d^3 + 5*d^4)
*cos(f*x + e)^2 + 32*(c^3*d - 7*c^2*d^2 + 15*c*d^3 - 9*d^4)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))/(cos(f*x + e) + sin(f*
x + e) + 1)) - 8*(2*d^2*cos(f*x + e)^2 + 9*c*d - 3*d^2 + (9*c*d - d^2)*cos(f*x + e) + (2*d^2*cos(f*x + e) - 9*
c*d + 3*d^2)*sin(f*x + e))*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c))/(a*f*cos(f*x + e) + a*f*sin(f*x
+ e) + a*f), 1/16*(8*sqrt(2)*(a*c^2 - 2*a*c*d + a*d^2 + (a*c^2 - 2*a*c*d + a*d^2)*cos(f*x + e) + (a*c^2 - 2*a*
c*d + a*d^2)*sin(f*x + e))*sqrt((c - d)/a)*log((2*sqrt(2)*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)*sq
rt((c - d)/a)*(cos(f*x + e) - sin(f*x + e) + 1) - (c - 3*d)*cos(f*x + e)^2 - (3*c - d)*cos(f*x + e) + ((c - 3*
d)*cos(f*x + e) - 2*c - 2*d)*sin(f*x + e) - 2*c - 2*d)/(cos(f*x + e)^2 - (cos(f*x + e) + 2)*sin(f*x + e) - cos
(f*x + e) - 2)) + (15*a*c^2 - 10*a*c*d + 7*a*d^2 + (15*a*c^2 - 10*a*c*d + 7*a*d^2)*cos(f*x + e) + (15*a*c^2 -
10*a*c*d + 7*a*d^2)*sin(f*x + e))*sqrt(d/a)*arctan(1/4*(8*d^2*cos(f*x + e)^2 - c^2 + 6*c*d - 9*d^2 - 8*(c*d -
d^2)*sin(f*x + e))*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)*sqrt(d/a)/(2*d^3*cos(f*x + e)^3 - (3*c*d^
2 - d^3)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) - (c^2*d - c*d^2 + 2*d^3)*cos(f*x + e))) - 4*(2*d^2*cos(f*x + e)^2 + 9*c*d
- 3*d^2 + (9*c*d - d^2)*cos(f*x + e) + (2*d^2*cos(f*x + e) - 9*c*d + 3*d^2)*sin(f*x + e))*sqrt(a*sin(f*x + e)
+ a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c))/(a*f*cos(f*x + e) + a*f*sin(f*x + e) + a*f), -1/32*(32*sqrt(2)*(a*c^2 - 2*a*c*d
+ a*d^2 + (a*c^2 - 2*a*c*d + a*d^2)*cos(f*x + e) + (a*c^2 - 2*a*c*d + a*d^2)*sin(f*x + e))*sqrt(-(c - d)/a)*a
rctan(-sqrt(2)*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)*sqrt(-(c - d)/a)/((c - d)*cos(f*x + e))) - (1
5*a*c^2 - 10*a*c*d + 7*a*d^2 + (15*a*c^2 - 10*a*c*d + 7*a*d^2)*cos(f*x + e) + (15*a*c^2 - 10*a*c*d + 7*a*d^2)*
sin(f*x + e))*sqrt(-d/a)*log((128*d^4*cos(f*x + e)^5 + 128*(2*c*d^3 - d^4)*cos(f*x + e)^4 + c^4 + 4*c^3*d + 6*
c^2*d^2 + 4*c*d^3 + d^4 - 32*(5*c^2*d^2 - 14*c*d^3 + 13*d^4)*cos(f*x + e)^3 - 32*(c^3*d - 2*c^2*d^2 + 9*c*d^3
- 4*d^4)*cos(f*x + e)^2 - 8*(16*d^3*cos(f*x + e)^4 + 24*(c*d^2 - d^3)*cos(f*x + e)^3 - c^3 + 17*c^2*d - 59*c*d
^2 + 51*d^3 - 2*(5*c^2*d - 26*c*d^2 + 33*d^3)*cos(f*x + e)^2 - (c^3 - 7*c^2*d + 31*c*d^2 - 25*d^3)*cos(f*x + e
) + (16*d^3*cos(f*x + e)^3 + c^3 - 17*c^2*d + 59*c*d^2 - 51*d^3 - 8*(3*c*d^2 - 5*d^3)*cos(f*x + e)^2 - 2*(5*c^
2*d - 14*c*d^2 + 13*d^3)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)*sqrt(-d
/a) + (c^4 - 28*c^3*d + 230*c^2*d^2 - 476*c*d^3 + 289*d^4)*cos(f*x + e) + (128*d^4*cos(f*x + e)^4 + c^4 + 4*c^
3*d + 6*c^2*d^2 + 4*c*d^3 + d^4 - 256*(c*d^3 - d^4)*cos(f*x + e)^3 - 32*(5*c^2*d^2 - 6*c*d^3 + 5*d^4)*cos(f*x
+ e)^2 + 32*(c^3*d - 7*c^2*d^2 + 15*c*d^3 - 9*d^4)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))/(cos(f*x + e) + sin(f*x + e) +
1)) + 8*(2*d^2*cos(f*x + e)^2 + 9*c*d - 3*d^2 + (9*c*d - d^2)*cos(f*x + e) + (2*d^2*cos(f*x + e) - 9*c*d + 3*d
^2)*sin(f*x + e))*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c))/(a*f*cos(f*x + e) + a*f*sin(f*x + e) + a*
f), -1/16*(16*sqrt(2)*(a*c^2 - 2*a*c*d + a*d^2 + (a*c^2 - 2*a*c*d + a*d^2)*cos(f*x + e) + (a*c^2 - 2*a*c*d + a
*d^2)*sin(f*x + e))*sqrt(-(c - d)/a)*arctan(-sqrt(2)*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)*sqrt(-(
c - d)/a)/((c - d)*cos(f*x + e))) - (15*a*c^2 - 10*a*c*d + 7*a*d^2 + (15*a*c^2 - 10*a*c*d + 7*a*d^2)*cos(f*x +
e) + (15*a*c^2 - 10*a*c*d + 7*a*d^2)*sin(f*x + e))*sqrt(d/a)*arctan(1/4*(8*d^2*cos(f*x + e)^2 - c^2 + 6*c*d -
9*d^2 - 8*(c*d - d^2)*sin(f*x + e))*sqrt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)*sqrt(d/a)/(2*d^3*cos(f*
x + e)^3 - (3*c*d^2 - d^3)*cos(f*x + e)*sin(f*x + e) - (c^2*d - c*d^2 + 2*d^3)*cos(f*x + e))) + 4*(2*d^2*cos(f
*x + e)^2 + 9*c*d - 3*d^2 + (9*c*d - d^2)*cos(f*x + e) + (2*d^2*cos(f*x + e) - 9*c*d + 3*d^2)*sin(f*x + e))*sq
rt(a*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c))/(a*f*cos(f*x + e) + a*f*sin(f*x + e) + a*f)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*sin(f*x+e))**(5/2)/(a+a*sin(f*x+e))**(1/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (d \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{a \sin \left (f x + e\right ) + a}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*sin(f*x+e))^(5/2)/(a+a*sin(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*sin(f*x + e) + c)^(5/2)/sqrt(a*sin(f*x + e) + a), x)